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我们下面采用Mongin & d’Aspremont (1998)的统一表述框架。请参阅此文。
定义一个社会福利函数 是功利主义的(utilitarian)，如果两个社会状态 和 满足 ，则从社会角度看 至少不差于 。
已被发展成统称为贝叶斯理性决策的一般理论（豪尔绍尼后面的表述几乎都是如此）。如果把在风险和不确定情形下的决策看作选择一种广义上的彩票，那么只要一个人的偏好满足理性、连续性、独立性等条件，那么这个人关于他所面对的风险和不确定性的信念就可以用一个在自然状态上的概率分布来表示，他的偏好就由一个基于这个概率分布的预期效用函数来刻画。
在一个个人集合为 （其数目为 ）的社会中，对每个社会境况（备选方案） ，每个 有代表个人偏好的效用函数 ，那么任一个体 有代表其伦理偏好的社会福利函数 。
帕雷托最优性是说，如果对甲乙两种社会状态，至少有一个人觉得甲比乙好，其他人觉得无所谓，那么从社会角度看应该认为甲比乙好.
即 ，其中对所有 ， 。
即 。
豪尔绍尼的证明后来被众多学者严格处理并推广了。
要定义字典式最小规则，我们需要对任何社会状态 先定义一个函数 ，使得对所有 ， ， 就是在 中第 个处境最糟糕的人。一个社会福利函数满足字典式最小规则，如果社会状态 好于 当且仅当 ，也就是说存在一个排序使得，前面名次上的倒霉蛋在两种社会状态中同样倒霉，但在某个特定名次上却分出高下来了，那个让人相对不那么糟糕的社会状态就是更合理的。同理我们还可定义一个字典式最大 (leximax)规则。
重要的有Hammond (1976)、d’Aspremont & Gevers (1977) 、Deschamps & Gevers (1978)、 Strasnick (1976)等。
这个不相关备选方案独立性与阿罗意义上的不同。
匿名性是说如果仅仅把人们的位置调换一下，那么社会评价应该维持原样，这是一个不错的平等原则。
词典式最小规则的另一个刻画是当且仅当它满足强帕雷托最优性、匿名性和哈蒙德公正公理。哈蒙德公正公理是说，如果张三在状态甲处比状态乙处好，依次比李四在状态乙处和李四在状态甲处好，其他人无所谓，那么应该认为乙比甲好。这也引出关于个人间福利水平的比较问题。
应该指出的是，它们依然会导致类似阿罗定理的“独裁者”情形，如Gevers (1979)所指出，功利主义社会选择函数具有词典式个人独裁性质，这个加总规则依赖于一个外生的个人间阶梯，社会偏好总是保证了站在阶梯顶点的人的严格偏好；而字典式最小规则则会导致，存在一个（按照社会地位排序的）阶层(rank)，他们的偏好决定了社会偏好。参见Suzumura (1996)及其中所引文献。
所以先秦时的杨朱主张“拔一毛利天下而不为也”是有一定道理的。
这个例子所假设的特殊限制同时也启发我们，最大化可观测的GDP不见得一定是最大化功利主义社会福利函数。
当然，这样的思考可以在历史上许多思想家的作品里发现。其实二十世纪的经济学家中有维克里（1996年因信息经济学特别是拍卖与税收理论获得诺贝尔经济学奖）早在四十年代(Vickrey,1945)先于豪尔绍尼和罗尔斯提到过它，不过这两人在撰写自己的经典作品时好象并不了解这点。
通常的说法是，N指纳什，S是一起获奖的塞尔滕，A是被称为博弈论先生的奥曼。
当然，豪尔绍尼也强调了康德对他的影响，后者的“普遍性原则”接近于圣经中的“你希望别人如何待你，你就如何待人”。这与孔子所谓的“己所不予，勿施于人”几乎同出一辙。
最大最小决策规则的一个重要来源是二十世纪著名数学家冯诺伊曼关于二人零和博弈的定理，其中每个人都选择能够最大化（给定对手策略的情况下）自己的最小的可能支付的策略。但这个定理不能推广到一般情形，相应情况下的博弈解概念是纳什均衡(Nash equilibrium)。
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