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今天，该是重建人和自然联盟的时代了 ，统一的纽带——非严格决定论不是出于证明人类自由的臆想，它本身就根植于世界，深埋在任何关于世界的描述理论的不完全性中——哥德尔定理是它最好的注解。
【注释】 标准的说谎者悖论为“我正在说的这句话是假的”。
罗素悖论是：一个由所有不属于自身的集合所组成的集合是否属于自身？显然，不管肯定或否定的回答都会引向其反面。
在哥德尔原来的论文中是更强的“ （奥米加）一致性”，后来罗塞尔将其减弱到“一致性”。
模型中的解释的意义：我们把数论形式系统中的可推演定理解释为（赋予其意义于）自然数集中的真命题。而在通俗的语言上，是用理论作为现象的“解释”（描述）。后文的讨论中，我们取模型论的用法，我们认为理论中的命题被解释为现象。
后来甘钦用更强的超穷归纳证明了自然数论的一致性，但不完全性定理依然成立。
转引自贝尔纳《历史上的科学》中文版P276，科学出版社1959年出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
《爱因斯坦文集》第一卷P415，许良英、范岱年等译，商务印书馆出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
此处的矛盾是逻辑意义上的，不同于辩证法中的“矛盾”，但后者也不应违背矛盾律。
理论应能展开自然数论似乎是不容置疑的。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其余都是人造的。
Wang Hao (1974): From mathematics to philosophy, p9。
彭罗斯《皇帝新脑》P195，湖南科技出版社1995年，吴忠超译。
数学中已发展出分歧理论来处理它。
李政道《对称、不对称和粒子世界》中文本P4，科学出版社1991年出版，吴元芳译。
混沌理论的代表人物之一福特有句论断：“混沌是哥德尔定理的孩子”。
在《科学》季刊43卷4期P269，郝柏林先生以“有限性”概念表述了同样观点。
斯宾诺莎《论理学》中译本P30，商务印书馆1958年版。
彭加勒《科学与方法》中译本《科学的价值》P388，光明日报出版社。
参见卢侃等编译《混沌动力学》P340，上海翻译出版公司1990年版。其实，这也没什么奇怪之处，二者之间的镜像对称关系已由两个迭代式之间的转换关系所决定。
作为一种实在它是不可更改的，对过去的不同理解是另外一回事，哥德尔曾指出爱因斯坦的相对论中有可能出现“向过去的自己开枪”的怪事，考虑到下文提到的时间单向性，过去依然不会被改变。
参见克林《元数学导论》下册中译本P472，科学出版社，莫绍揆译。
转引自《世界科学》1991年12期P3。
莫斯托夫斯基《数学基础研究三十年》P15，华中工学院出版社，郭世铭等译。实际上哥德尔本人就曾指出“任何认识论悖论都可以用来做一存在不可判定命题的相仿证明”。
转引自徐利治《数学方法论选讲》P148，149，华中工学院出版社1982年版。
参见《元数学导论》下册第十二章，尤其P394的讨论。可插入的一句话是，递归定理与布劳维尔不动点定理等的相似之处对理解关于离散和连续的关系也极有启发。
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