|
这个严格决定论的框架是建立在精灵的全知全能基础上的。但后面我们希望表明的是，如果我们承认哥德尔定理的效力，那么全知全能的精灵与希尔伯特纲领都是人类的坦塔罗斯痛苦 ——可望而不可及。其实，拉普拉斯本人就指出：“人在追求真理中的一切努力，目的是要愈来愈接近那个精灵，但是人仍然是永远无限地远离着它。”
必须指出，从元理论的角度看，所谓决定与非决定都是相对于一定的描述（刻画）世界的理论框架而言，因此判断上帝是否掷骰子应该结合判断工具作出。只要我们刻画世界的理论工具是不完全的，那么就不能消除我们观察并存在在其中的世界的不确定性和随机性；易言之，正因为没有全知全能的上帝，所以我们才说上帝也掷骰子。
世界的整个存在状态可被解释为一组真命题，由一种相当丰富的语言（甚至可以用世界自身的存在或其否定作语言）所表述。一个理论框架试图以其定理集囊括所有真命题，它的公理和推演规则对定理集的演绎决定关系相当于世界存在的时间序列中严格的因果决定关系。这些真命题构成一个一致的逻辑上相容的体系，也就是说，世界的存在本身是没有矛盾的，矛盾只有可能出现于刻画世界的理论中 。但是哥德尔定理给我们的启发是，此理论 如果是没有矛盾的，则它是不完全的，必然有一个真命题是不可判定的，也就是说不能用这个理论的公理和推演规则演绎出来。我们必须要求理论是没有矛盾的，因为一个不一致的理论可从推出任何命题（包括假命题），已失去理论正确描述世界的意义。如此，则理论的不完全是不可避免的。对任何理论而言，世界的存在状态中至少有一个是其所不能刻画的，这就意味着未来不可能由过去和现在的状态及演化规律（相当于理论框架的公理）所完全严格地决定。
因而，宇宙也不是一部计算机，一旦借上帝之手开动，就会按固定的算法程序输出其存在状态。图灵以其关于图灵机的研究从另一个也许是更广泛的角度揭示了不完全性问题。图灵机在本质上可代替任何机械计算装置，但功能再强大的图灵机也面临着停机不可解问题，这同样表明了严格决定论的本质上不可避免的局限性。
当然，正象哥德尔定理并非否认，逻辑上可能存在一个一致且完全的数论形式系统，我们也可以承认存在一个象拉普拉斯精灵一样的把过去、现在和未来纳入同一框架的描述世界的完备模式。前者的存在要求把系统中所有为真的公式作为公理（哥德尔定理意味着这个过程不是能行可实现的），而后者也就要求拉氏精灵必须沿着时间之矢把世界的存在演化过程中的所有状态都记录下来才行。但是，显而易见，这就失去了谈论因果决定关系的必要和可能。因为，我们的任何描述世界的理论模式只能从可判定的递归公理集（在这里，即使是一个无限的递归公理集也因其是递归的而表现为可判定的）和推演规则出发。
公理集可以是一个递归可枚举集而非递归集，而递归可枚举集是由一递归函数严格决定的。但是原则上，如果我们能区分过去、现在和未来，那么我们必须能区别出非公理集合，从而公理集应当是递归集。因此，说一个把所有真命题纳为公理的系统便等于几乎什么也没说，也不存在一个确定有效的方法来构造实现它（即所谓能行性不可补足）。我们不知道与原始系统相独立的一个命题或其否定中的哪一个可作为公理，除非存在先验判断，而此先验判断可能是武断的。在此意义上，数论形式系统是本质上不可完全的，把不可判定命题纳为公理后还会产生新的不可判定命题，这个过程永远没有结束的时候。当然，哥德尔本人认为正是他的柏拉图主义或客观主义使他发现了完全性定理的证明，“我的客观主义的数学和元数学一般概念，特别是关于超穷思维的客观主义的观念，对于我的其他逻辑工作也是根本的” 。
|
