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甲 乙 丙
a b c
b c a
c a b
帕雷托最优是经济学家和其他社会科学家用来衡量社会效率最常用、最普遍、甚至是唯一的指标，它指的是这样一种“大家都好得不能再好”的状态，即在此状态下，没有一个人可以在不损害他人福利的前提下使自己的福利得以改善；而个人自由原则又是人类不懈的追求，二者都是人们直觉上能够完全接受的标准。但是，森的研究表明，这两个如此诱人的标准却是矛盾的，无法总是同时成立。与阿罗定理不同的是，森的定理非常简单，它建立在三个基本前提假定之上：1），个人偏好的无限制性；2）帕雷托原则；3）最小自由原则，即社会应当赋予至少两个人各自在至少一对社会状态之间有选择权，如果他认为甲比乙好，社会不应干涉而应认同。用森的话说就是，如果你想趴着睡而不想躺着睡，社会应当认可。但是，森证明，对于二人以上的社会，不存在同时满足上述三个条件的社会选择函数（Sen, 1970）。因为，帕雷托最优与最小自由原则结合在一起，会出现与阿罗不可能性定理所揭示的孔多塞投票悖论类似的循环性结果。
定理的意义可以用经缪勒（Danis Muller）修正过的例子（森是它的原始作者）揭示出来。假设一个二人社会由好色的张三与拘谨的李四组成，他们面对着那本有名的《查特莱夫人的情人》。好色的张三希望由李四来读这本书，但相比谁也不读它而言，他宁肯自己来读它；而拘谨的李四则希望最好大家都不读这本书，但相对张三读来说，还不如他自己来读。如此则有下面的矩阵：
张三
不读 读
读 a b
李四
不读 c d
如果我们赋予李四选择横行的策略的权利，张三选择纵列的权利。那么，对李四来说，（c，d）好于（a，b）；对张三来说，（b，d）好于（a，c）。显然，李四在a和c之间选择c，张三在c和d之间选择d，结果d却帕雷托劣于a。正如缪勒所指出的，上述矩阵类似于博弈论中著名的囚徒困境。
我们面临的是与古希腊神话里那个推石上山的希绪索斯同样的困境。正如俗话说的好，你不能既要马儿跑，又要马儿不吃草。森和阿罗的定理表明，我们并不是总能达到十全十美的境界（我们没法鱼与熊掌兼得），也就是说，我们面临着各种目标和标准之间的折衷(trade-off)。这只是问题的一面，另一面是我们现实里能达到什么样的境界，我们是怎么饶开这些“不可能困境”而避免落入悖论的呢？或者说，如果这些尴尬是避免不了的，那么我们在现实中是如何区分民主与非民主，自由与非自由社会的呢？
这两个定理都是建立在序数偏好上的，一个直觉上很诱人的思路是，如果利用基数偏好提供的更多的信息是否能够走出这些困境。森后期的研究很大一部分集中在这个方面，即如何测度效用，以建立能让人们接受的社会选择规则。鉴于森的重大贡献，他获得了1998年诺贝尔经济学奖。
基数偏好意味着人际间的效用比较。豪尔绍尼和罗尔斯(罗尔斯的理论只 需序数可比较性；豪尔绍尼的理论是基数性可比较的)据此得到了他们的著名结果。社会选择理论研究的很大一部分是围绕着这两个结果展开的（Claude d’Aspremond, 1985）。
豪尔绍尼的功利主义的可加总的社会福利函数，可以看作是边沁主张“最大多数人的最大幸福”的形式化。卢梭曾写道：“公意只考虑到公共的利益，而众意则考虑到个人的利益；众意是个别意志的总合。但是，在众意里去掉其正负相抵消的部分，则减余的部分是公意”。后来以边沁为代表的功利主义者也主张最大多数人的功利的最大化。豪尔绍尼（Harsanyi,1955）建立了一个可加总的社会福利函数，才真正使我们看清楚了什么前提下我们可以接受这种功利主义的观念,最主要的是我们假设每个人都是预期效用最大化行为者，并且假设“一个人有相同的可能性被置于社会的任何具体成员的位置上”（Harsanyi, 1953,435）。在不同前提条件下他实际上得到了两个定理。第一定理是说，社会福利就是个人效用的简单加总；第二定理指出，社会福利函数可以表达为，赋予每个人的效用一定权重，根据这些权重进行加总。定理的前提中包含了社会福利函数和个人效用函数一样都是基数的，并且满足冯诺依曼-摩根斯顿公理或等价的前提。但是功利主义社会选择函数具有词典式个人独裁性质，正如吉沃斯所指出 ，“这个加总原则依赖于一个外生的个人间阶梯，社会偏好总是保证了站在阶梯顶点的人的严格偏好”。
与豪尔绍尼不同的是，罗尔斯正义论不是建立在严格数学论证的基础上 ，甚至包含某些不协调。但无论如何，这是一项重要的贡献。原来人们对公平的理解通常是平均分配（所有社会资源和产品在每个人之间的平均分配）和无妒嫉型分配（即没有人会妒嫉他人的处境），罗尔斯提出了另一个很有吸引力的标准。他认为正义应该满足如下两个原则：其一，每个人都有关于平等的基本自由的最广泛配置（与所有人的类似自由配置相容）的平等权利；其二，社会和经济的不平等要符合两个条件，a)他们应使社会中处境最糟糕的成员相对的预期效用最大（最大最小公平原则）b)并且附以在机会的公正平等条件下职位和地位向所有人开放（Rawls, 1972，p55）。这些原则之间满足词典式排序。在这些原则中，真正引起争议的是最大最小原则。罗尔斯曾罗列了接受这个原则的几点理由：很可信的正常的风险回避（给定初始地位的特殊细节）；要求的信息不多；作为一个公共原则较为适宜；承担义务的张力较弱（Rawls, 1974）。与豪尔绍尼类似，假设所有人处在一个“无知之幕”后面的前提起着重要作用。执行这个原则会导向一种极端的“分配正义”，普拉特，杰沃斯，罗伯茨等人分别证明存在一个不可能性结果：罗尔斯型的正义论会导致，存在一个（按照社会处境排序的）阶层，他们的偏好决定了社会偏好。哈耶克也指出：“分配正义原则，除非整个社会都被组织得与其一致，否则就不能执行。这将产生一个在所有重要方面都是自由社会反面的社会，在这种社会里，权威决定了个人要做什么和如何去做”（Hayek, 1960, p100）。
由于森后期的研究与豪尔绍尼和罗尔斯遵循的是同一个思路，我们有必要适当讨论一下个人自由原则。在森看来，个人自由意味着，对于社会中的每一个人都至少在某一选择上有被社会认同的自由，其本意在于给每个人以一定的个人空间，使得他在这个空间内作出的选择能够得到社会的认可。但是，森对自由的定义和刻画存在着一些问题，如果用博弈论的实证语言来描述社会、制度和权利的话，那么，一个社会的存在状态就是个人决策与环境共同作用的结果。这样，自由实际上已经被赋予在博弈框架内，个人的策略范围就是他的自由的界限。或者说，在技术赋予的可能范围内，制度通过对博弈结果的影响限制了博弈者的合理策略集合。基本自由体现在个人对备选策略的选择权上，所以我们总是存在着最小的自由。至于个人自由选择是否总是能够导致帕雷托最优，从囚徒困境给我们的启发看，在一般意义上大部分博弈的结果是非帕雷托最优的 。结合豪尔绍尼和罗尔斯的贡献（仅仅在社会选择意义上，他们的研究都是无可非议的），我们可以提出这样一个问题：能否有一个全知全能而又不怀私心的裁判或中央计划者，或者一个所谓民主的集中的决策程序，通过它确立一个社会目标，这个目标满足帕雷托最优以及更广泛的其他社会选择规则，并且进一步找到一种构造式的可操作可控制的直接实现目标的方法。特殊地说，是否有这样一种可能，既然自由和帕雷托最优如鱼和熊掌不可兼得，那么，通过一个限制或代替个人自由的集中决策程序，就可以直接实现帕雷托最优（这实际上是一个机制设计问题，后面要讨论）。
最后，我们引用森对社会选择理论的总结性评述：“社会选择理论在过去几十年受到极大关注的理由之一是和它处理的领域的重要性联系在一起的（在广泛意义上这个领域刻画了理论的特征）。另一个原因在于，它在把含蓄的思想明确化，保持这些思想含义的一致性和明晰性方面硕果累累。作为一种方法论学科，社会选择理论在澄清早先是模糊的问题上卓有成效。尽管不顾一切地坚持明晰性也有一些限制（有时用于社会选择理论的公理结构的狭窄性确实被视为一种局限），但在分析涉及集体加总的经济，社会和政治问题时，社会选择理论与其它方法论传统相比无疑很有创造性。要对本文所述及的众多文献作出判断，看看它们在澄清含混解释模糊方面的成就即可。也许所谓成功是令人喜忧参半的，但这乃是意料之中的”（Sen, 1987, 389）。
机制设计理论与制度安排
社会选择理论是一种抽象的规范理论，从元理论的角度来看，研究者可以假设他作为一个客观的观察者，了解所有人的偏好，从而能够确定那些帕雷托最优点以及其它一些合理的社会选择目标。但是，在机制设计理论中，机制设计者没有也不可能了解所有信息。假如能够了解和掌握全部信息，那么，机制设计就只是一个简单的优化计算问题，象计划经济那样的直接控制和强制命令就是最好的制度。这样也就不存在什么机制设计问题。问题在于，在信息不完全 的情况下，如何设计出有效的制度。哈耶克认为：“社会理论的整个任务，乃在于这样一种努力，解释整个经济活动的秩序是如何实现的：这个过程运用了大量的知识，但这些知识并不是集中在任何单个人脑中的知识，而仅仅是作为不计其数的不同的个人的分立的知识而存在的。”（Hayek，1967）。
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