“我知道怎么一来那种事就可能发生”——从哥德尔到其它
丁利
【关键词】哥德尔 不完全性定理 非严格决定论 自由
【全文】
本文发表于《方法》1999年第三期
“我知道怎么一来那种事就可能发生”——从哥德尔到其它
丁利
上帝是存在的，因为数学是逻辑一致的；但魔鬼也是存在的，因为我们无法证明这一致性。
——魏尔
“在大多数人眼里，哥德尔的生平事业好似远在天边的一处幽秘的风景地，引人入胜但难于亲临其境。只是心驰神往而已”（《哥德尔》第201页。以下凡不注明者同）。而我们有幸有了王浩先生的这本书和康宏逵先生的译作，两者真称得上是珠联璧合的精品。虽然很早就通过许多作品知道了哥氏及其定理，此书的英文原著也早已读过，但拿到中文本的一刹那间，我还是有种呼吸都要停止的感觉。就我这个对数理逻辑只能持一种欣赏艺术美的态度的外行来说，再细细地读一遍，依然是浮光掠影。但入宝山终有所得，怀着儿童发现新奇事物的兴奋感，大着胆子写出来就教于方家（请原谅我不能过多地谈逻辑），因为“学习的一种方法，经常还是唯一的方法，就在于首先犯错误”（第299页）。
康先生在译后散记中指出哥德尔“个人的自大”即“独异”。即便你在其它地方早已耳闻目睹哥氏独异事迹的描述，他在入籍美国前的审核中的表现依然足以让人莞尔一笑。不过笑过之后对哥氏的可爱天真会愈加心向往之。“哥德尔要参加的例行审核算不得什么，他却认认真真准备，仔仔细细研究了美国宪法。面试前一天，哥德尔告诉摩根斯顿，他发现美国有向独裁制演变的逻辑——法律可能性。”（第164页）看来摩根斯顿的力劝，还有第二天爱因斯坦讲故事的分散注意力，都没有奏效。针对法官关于美国宪法适足以防止希特勒式独裁的断言，哥德尔仍以他一贯的天真脱口而出，“正好相反，我知道怎么一来那种事就可能发生”。好在有爱因斯坦的人情，法官的宽容（由此可见美国的法治还不够严格，也没聪明到要求全民统一思想的地步），他的面试终算通过。
依愚见，哥氏此言是他的典型风格，与妙绝古今的不完全性定理对希尔伯特纲领的回答一脉相承。康托尔创建的集合论现在已成了几乎所有数学的基础（至多范畴论除外），但当年罗素却在朴素集合论里发现了“罗素悖论”，引致第三次数学危机。危机使得数学家们发生分裂，出现了以罗素、怀特海为代表的逻辑主义，布劳维尔、魏尔为代表的直觉主义，希尔伯特为代表的形式主义等几大阵营，都要为数学奠定一个坚实的基础。但逻辑主义不能贯彻到底（无穷公理和可化归性公理都不是逻辑）；直觉主义“存在就是被构造”的信条使许多传统数学被抛弃也不能服人；希尔伯特这位世纪之交的数学家领袖，坚持“谁也不能把我们从康托尔为我们创建的伊甸园中赶出去”，他乐观地认为在数学中没有不能解决的问题，“我们必须知道，我们必将知道”。在吸收了逻辑主义和直觉主义的许多观点的基础上，作为“元数学－－证明论”之父，他提出的有穷的、可构造的形式化纲领最为吸引人。他的元数学把数学看作无内容的符号操作，欲从数学本身证明数学的无矛盾性，以“一劳永逸地消除数学中的基础问题”。可是，正如众所周知，哥德尔1931年石破天惊的《论PM及相关系统中的形式不可判定命题》一文对此的回答是，“正好相反，我知道怎么一来那种事就可能发生”（由罗塞尔修正过的标准哥德尔定理是：在任一公理集是递归集并能展开自然数论的一致的形式系统中，总存在系统不能证明也不能否证的命题，并且系统的一致性不能在系统中证明。这个结果，柯尔莫哥洛夫和察廷在算法信息论中，索洛维在模态逻辑中，甚至在拓扑意义上都有着众多的推广）。哥德尔给我们描述了一幅悖论边缘的世界图景，因为不可判定命题类似于悖论却又没有落入悖论，它只是断定了自身的不可知。而在可知表象的背后原来有着无数我们永远不可全知的可能世界。数学不能仅仅归结于符号操作，表明其永不枯竭的内涵、蓬勃旺盛的生命力和无限广阔的发展前景。失望之余我们应该感到这是人类及其理智的幸运。希尔伯特的世界实在是断了我们发现新大陆的快感，未免不太美妙。
